1.6 树（40题）
<h1>1. 什么是树？</h1>
<p>树是一种非线性的数据结构，它是由一个根节点以及若干个子树构成的，其中每个子树也是一个树结构，且每个节点有零个或多个子节点。</p>
<h1>2. 树的基本术语有哪些？</h1>
<ul>
<li>根节点：树的最顶层节点。</li>
<li>子节点：任何节点的直接后继节点。</li>
<li>父节点：任何节点的直接前驱节点。</li>
<li>叶子节点（终端节点）：没有子节点的节点。</li>
<li>分支节点（内部节点）：至少有一个子节点的节点。</li>
<li>树的深度（高度）：从根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。</li>
<li>树的层次：从根节点开始，根节点为第1层，其直接子节点为第2层，依此类推。</li>
<li>森林：零个或多个不相交的树组成的集合。
<h1>3. 树的特点是什么？</h1></li>
<li>层次结构：节点之间存在明确的层次关系。</li>
<li>多路径：从根节点到每个叶子节点都有唯一的路径。</li>
<li>递归定义：树可以递归地定义为由根节点和子树构成的结构。
<h1>4. 什么是二叉树？</h1>
<p>二叉树是一种特殊的树结构，其中每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。</p>
<h1>5. 二叉树的特点是什么？</h1></li>
<li>每个节点最多有两个子节点。</li>
<li>子节点的顺序是固定的（左子节点和右子节点）。</li>
<li>可以是空的（即没有节点）。
<h1>6. 二叉树的基本性质有哪些？</h1></li>
<li>在二叉树的第i层上，最多有2^(i-1)个节点（i≥1）。</li>
<li>深度为k的二叉树最多有2^k - 1个节点（k≥1）。</li>
<li>对于任何一棵二叉树，如果度为2的节点数为n2，度为1的节点数为n1，度为0的节点数为n0，则n0 = n2 + 1。
<h1>7. 什么是完全二叉树？</h1>
<p>完全二叉树是一种特殊的二叉树，其中除了最后一层外，每一层都完全填满，并且最后一层的节点都靠左对齐。</p>
<h1>8. 什么是满二叉树？</h1>
<p>满二叉树是一种特殊的二叉树，其中除了叶子节点外的每一个节点都有两个子节点，且所有的叶子节点都处于同一深度层次。换句话说，满二叉树的每一层都是完全填满的。</p>
<h1>9. 什么是平衡二叉树？</h1>
<p>平衡二叉树（也称为AVL树）是一种自平衡的二叉搜索树，其中任何节点的两个子树的高度差（平衡因子）的绝对值不超过1。这种特性使得平衡二叉树能够在O(log n)时间复杂度内完成插入、删除和查找操作。</p>
<h1>10. 二叉树的存储方式有哪些？</h1>
<p>二叉树的存储方式主要有两种：顺序存储和链式存储。</p>
<h1>11. 如何用数组存储二叉树？</h1>
<p>用数组存储二叉树时，通常使用完全二叉树的性质来安排节点的位置。对于数组中的任意一个位置i（假设数组从0开始计数），其左子节点的位置为2i+1，右子节点的位置为2i+2，父节点的位置为(i-1)//2。这种存储方式适用于完全二叉树或满二叉树，但对于一般的二叉树可能会造成空间浪费。</p>
<h1>12. 如何用链表存储二叉树？</h1>
<p>用链表存储二叉树时，每个节点都包含三个部分：数据域、左子节点指针和右子节点指针。这种方式可以灵活地表示任意形状的二叉树，不会造成空间浪费，但相对于数组存储来说，访问节点的效率可能较低。</p>
<h1>13. 二叉树的初始化步骤是什么？</h1>
<p>二叉树的初始化步骤通常包括：</p></li>
<li>创建一个根节点，并为其分配内存空间（如果需要）。</li>
<li>根据需要初始化根节点的数据域。</li>
<li>将根节点的左子节点和右子节点指针初始化为空（表示没有子节点）。</li>
<li>如果需要构建整棵树，则递归地执行上述步骤来创建和连接子节点。
<h1>14. 二叉树的遍历方法有哪些？</h1></li>
<li>前序遍历（Preorder Traversal）：首先访问根节点，然后递归地前序遍历左子树，最后递归地前序遍历右子树。</li>
<li>中序遍历（Inorder Traversal）：首先递归地中序遍历左子树，然后访问根节点，最后递归地中序遍历右子树。这种方法也被称为对称序列遍历。</li>
<li>后序遍历（Postorder Traversal）：首先递归地后序遍历左子树，然后递归地后序遍历右子树，最后访问根节点。</li>
<li>层序遍历（Level Order Traversal）：按从根节点开始的层次从上到下、从左到右的顺序访问树中的每个节点。这种方法通常需要借助队列等数据结构来实现。</li>
</ul>
<h1>15. 什么是先序遍历？</h1>
<p>先序遍历（Preorder Traversal）是二叉树遍历的一种方法，它的访问顺序是：首先访问根节点，然后递归地先序遍历左子树，最后递归地先序遍历右子树。这种遍历方式也被称为前序遍历或根左右遍历。</p>
<h1>16. 什么是中序遍历？</h1>
<p>中序遍历（Inorder Traversal）是二叉树遍历的另一种方法，它的访问顺序是：首先递归地中序遍历左子树，然后访问根节点，最后递归地中序遍历右子树。这种遍历方式也被称为对称序列遍历或左根右遍历。在中序遍历下，对于一棵二叉搜索树，节点的值会按照升序被访问。</p>
<h1>17. 什么是后序遍历？</h1>
<p>后序遍历（Postorder Traversal）是二叉树遍历的第三种方法，它的访问顺序是：首先递归地后序遍历左子树，然后递归地后序遍历右子树，最后访问根节点。这种遍历方式也被称为根右左遍历或左右根遍历。</p>
<h1>18. 什么是层次遍历？</h1>
<p>层次遍历（Level Order Traversal）或广度优先遍历（Breadth-First Traversal）是二叉树遍历的另一种方式，它按照树的层次从上到下、从左到右的顺序访问节点。这种遍历方式通常需要使用队列等数据结构来实现。</p>
<h1>19. 如何实现二叉树的先序遍历？</h1>
<p>实现二叉树的先序遍历可以通过递归或迭代的方式。递归方式是通过定义一个函数，该函数首先访问当前节点的值，然后递归地调用自身来遍历左子树和右子树。迭代方式则是利用栈这种数据结构来模拟递归的过程。</p>
<h1>20. 如何实现二叉树的中序遍历？</h1>
<p>实现二叉树的中序遍历同样可以通过递归或迭代的方式。递归方式是通过定义一个函数，该函数首先递归地遍历左子树，然后访问当前节点的值，最后递归地遍历右子树。迭代方式则是利用栈这种数据结构，并在遍历过程中维护一个标志位或指针来指示是否应该访问当前节点。</p>
<h1>21. 如何实现二叉树的后序遍历？</h1>
<p>实现二叉树的后序遍历也可以通过递归或迭代的方式。递归方式是通过定义一个函数，该函数首先递归地遍历左子树和右子树，然后访问当前节点的值。迭代方式则相对复杂一些，通常需要利用两个栈或一个栈结合标志位来实现，或者使用莫里斯遍历（Morris Traversal）这种巧妙的方法来避免使用额外的数据结构。</p>
<h1>22. 如何实现二叉树的层次遍历？</h1>
<p>实现二叉树的层次遍历（也称为广度优先遍历）通常使用队列这种数据结构。首先将根节点入队，然后进入一个循环，直到队列为空。在每次循环中，从队列中取出一个节点，访问它的值（或执行其他所需操作），然后将其左子节点（如果存在）和右子节点（如果存在）依次入队。这样，就可以按照层次从上到下、从左到右的顺序访问所有节点。</p>
<h1>23. 什么是树的高度？</h1>
<p>树的高度是指从根节点到树中最深叶子节点的最长路径上的节点数（包括根节点和叶子节点）。树的高度也被称为树的深度，但在某些文献中，深度可能特指从根节点到某个特定节点的路径长度，而高度则专指到最远叶子节点的路径长度。为了避免混淆，这里采用“高度”这一术语来统一指代。</p>
<h1>24. 如何计算树的高度？</h1>
<p>计算树的高度可以通过递归或迭代的方式实现。递归方式是定义一个函数，该函数返回当前节点为根的子树的高度。如果当前节点为空，则高度为0；否则，递归地计算左子树和右子树的高度，然后取两者中的较大值，并加1（加上当前节点自身）。迭代方式则通常利用队列或栈等数据结构来实现，但相对复杂一些。</p>
<h1>25. 什么是树的叶子节点？</h1>
<p>树的叶子节点是指树中没有子节点的节点。在树结构中，叶子节点处于最底层，它们不再向下扩展。</p>
<h1>26. 如何计算树的叶子节点数量？</h1>
<p>计算树的叶子节点数量可以通过遍历树的所有节点来实现。在遍历过程中，每当遇到一个没有子节点的节点时，就将叶子节点计数器加一。遍历完成后，计数器的值即为树的叶子节点数量。</p>
<h1>27. 什么是树的内部节点？</h1>
<p>树的内部节点是指树中除叶子节点以外的所有节点。这些节点至少有一个子节点，因此它们在树的结构中起到连接和支撑的作用。</p>
<h1>28. 如何计算树的内部节点数量？</h1>
<p>计算树的内部节点数量可以通过总数减去叶子节点数量的方式得到。首先，遍历整棵树，统计出所有节点的总数。然后，再统计出叶子节点的数量。最后，用总数减去叶子节点的数量，即可得到内部节点的数量。另一种方法是直接在遍历过程中判断节点是否为内部节点，并累加计数。</p>
<h1>29. 什么是树的度？</h1>
<p>树的度是指树中节点的最大子节点数。对于二叉树来说，其度固定为2（每个节点最多有两个子节点）。而对于一般树（非二叉树）来说，其度可能大于2，具体取决于树的结构和定义。</p>
<h1>30. 如何计算树的度？</h1>
<p>计算树的度需要遍历树的所有节点，并找出具有最多子节点的节点。该节点的子节点数即为树的度。在遍历过程中，可以维护一个变量来记录当前遇到的最大子节点数，遍历完成后，该变量的值即为树的度。</p>
<h1>31. 什么是树的路径长度？</h1>
<p>树的路径长度是指从树的根节点到所有叶子节点的所有路径上的节点数之和。也可以理解为，树中所有节点到根节点的距离之和（每个节点的距离以其所在的路径上的节点数来计算）。</p>
<h1>32. 如何计算树的路径长度？</h1>
<p>计算树的路径长度可以通过遍历树的所有节点来实现。在遍历过程中，对于每个节点，计算其到根节点的距离（即其所在的路径上的节点数），并将这些距离累加起来。遍历完成后，累加的总和即为树的路径长度。另一种方法是使用递归函数来计算每个子树的路径长度，并将这些长度相加得到整棵树的路径长度。</p>
<h1>33. 什么是树的带权路径长度？</h1>
<p>树的带权路径长度是指树中所有叶子节点的带权路径长度之和。其中，带权路径长度指的是从根节点到某个叶子节点的路径长度（即路径上边的数量）与该叶子节点权值的乘积。</p>
<h1>34. 如何计算树的带权路径长度？</h1>
<p>计算树的带权路径长度，需要先确定树中每个叶子节点的权值和从根节点到该叶子节点的路径长度，然后将所有叶子节点的带权路径长度相加。具体步骤如下：首先，遍历树，记录每个叶子节点的权值和其对应的路径长度；然后，计算每个叶子节点的带权路径长度；最后，将所有叶子节点的带权路径长度求和，得到树的带权路径长度。</p>
<h1>35. 什么是哈夫曼树？</h1>
<p>哈夫曼树，也被称为最优二叉树，是一种特殊的二叉树，其带权路径长度（WPL）最短。在构造哈夫曼树时，通常使用贪心算法，每次选择权值最小的两个节点作为新节点的左右子节点，并将新节点的权值设为这两个子节点权值之和。重复此过程，直到只剩下一个节点，即根节点，此时得到的二叉树即为哈夫曼树。</p>
<h1>36. 哈夫曼树的特点是什么？</h1>
<ul>
<li>哈夫曼树的节点度数为0或2，即每个节点要么是叶子节点（没有子节点），要么有两个子节点（左子节点和右子节点）。</li>
<li>对于具有n个叶子节点的哈夫曼树，其总节点数为2n-1（包括叶子节点和非叶子节点）。</li>
<li>在哈夫曼树中，权值越大的叶子节点离根节点越近，这是由哈夫曼树的构造过程决定的。</li>
<li>具有相同叶子节点和权值的哈夫曼树可能不唯一，但它们的带权路径长度都相同且最短。
<h1>37. 如何构建哈夫曼树？</h1></li>
<li>首先，根据给定的n个权值，构造n棵只有根节点的二叉树，这些二叉树构成一个森林。</li>
<li>然后，在森林中选择两棵根节点权值最小的树作为左右子树，构造一棵新的二叉树，并设置新二叉树根节点的权值为其左右子树根节点权值之和。</li>
<li>接着，从森林中删除这两棵树，并将新得到的二叉树加入森林中。</li>
<li>重复上述过程，直到森林中只剩下一棵树为止，这棵树即为哈夫曼树。
<h1>38. 哈夫曼编码的概念是什么？</h1>
<p>哈夫曼编码是一种基于哈夫曼树的变长编码方法。在哈夫曼编码中，每个字符都被赋予一个唯一的编码，该编码的长度与该字符在文本中出现的频率（或权值）成反比。即字符出现的频率越高，其编码越短；字符出现的频率越低，其编码越长。这样，当使用哈夫曼编码对文本进行编码时，可以得到较短的编码长度，从而提高数据的压缩效率。</p>
<h1>39. 如何实现哈夫曼编码？</h1></li>
<li>首先，统计文本中每个字符的出现频率，并将这些频率作为字符的权值。</li>
<li>然后，根据这些权值构造哈夫曼树。</li>
<li>接着，对哈夫曼树进行遍历，从根节点开始，向左子树遍历时记录编码“0”，向右子树遍历时记录编码“1”。当遍历到叶子节点时，将路径上记录的编码序列作为该叶子节点对应字符的哈夫曼编码。</li>
<li>最后，使用得到的哈夫曼编码对文本进行编码。
<h1>40. 什么是树的同构？</h1>
<p>树的同构是指两棵树在结构上完全相同，即它们可以通过节点的重新标记而相互转化。换句话说，如果两棵树具有相同的节点数和相同的边连接关系（忽略节点的具体标记或权值），则这两棵树是同构的。</p></li>
</ul>